78的赛入13：78和13的最大公因数和最小公倍数是多少？

“78的赛入13”所对应的这道计算题，考查的是78和13的最大公因数与最小公倍数。答案是：最大公因数为13，最小公倍数为78。因为78可以被13整除，且78正好是13的6倍，两个数之间存在整除关系。

先看两个数各自的因数

求最大公因数，可以分别找出两个数的因数，再从共同的因数中选出最大的一个。78的正因数包括1、2、3、6、13、26、39和78；13是质数，它的正因数只有1和13。对照两组因数，两个数共同拥有的因数是1和13，其中较大的数是13。

因此，78和13的最大公因数是13。这里要选的是“共同因数”里最大的那个，而不是把两数相乘，也不是把78本身当作共同因数。78不能整除13，所以78不是它们共有的因数。

利用整除关系求最小公倍数

最小公倍数是两个数的公倍数中最小的正整数。78的倍数有78、156、234、312……；13的倍数有13、26、39、52、65、78、91……。从两列倍数中可以看到，78已经同时是78和13的倍数，而且没有比78更小的正公倍数，所以最小公倍数是78。

也可以直接利用整除关系判断：78÷13=6，结果是整数，说明78是13的倍数。两个正整数中，如果一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数。本题较大的数78可以被13整除，因此最小公倍数直接等于78。

用短除法和分解质因数复核

将78分解质因数，可得78=2×3×13；而13本身就是质数。求最大公因数时，取两数质因数分解中共同出现的质因数，并采用较小的指数。本题共同部分只有13，因此最大公因数为13。

求最小公倍数时，则需要覆盖两个数分解中出现的全部质因数，并采用各自较大的指数。78已经含有2、3和13，13没有提供额外的质因数，所以最小公倍数为2×3×13=78。换成短除法看，78和13同时除以13后分别得到6和1；再将公共除数13与剩余数相乘，可得最小公倍数13×6×1=78。

也可以用辗转相除法求最大公因数：78除以13，商为6，余数为0。余数为0时，除数13就是最大公因数。再利用最大公因数与最小公倍数的乘积关系进行检查：13×78=1014，而78×13也等于1014，两边相等，结果相互吻合。

最大公因数和最小公倍数不要混淆

最大公因数回答的是“两个数能共同分成多大的整数份”，因此它不能超过较小的数13；最小公倍数回答的是“从两个数的倍数中，最早能找到哪个共同数”，所以它不可能小于较大的数78。本题得到的13和78分别符合这两个范围，也能帮助快速检查答案是否合理。

这两个概念虽然都涉及两个数，却分别从因数和倍数出发。找公因数时，要看哪些数能同时整除78和13；找公倍数时，要看哪些数能同时被78和13整除。若把“因数”误看成“倍数”，或者把两数的乘积直接当成最小公倍数，就容易把答案算大。78×13=1014是两个数的乘积，不是本题的最小公倍数，因为78本身已经包含13这个因数。

答案汇总

所以，78和13的最大公因数是13，最小公倍数是78。看到两个数之间存在整除关系时，可以先判断较大的数是否为较小数的倍数；若是，最大公因数就是较小数，最小公倍数就是较大数。